Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия называется последовательность b1, b2, b3 … bn, у которой задан первый член не равный нулю b1≠0, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число не равное нулю q≠0 и задаётся следующим равенством:

bn+1 = bnq

где q – знаменатель прогрессии и b1≠0, q≠0.

Eсли q>0  и b1>0, то геометрическая прогрессия возрастает, а если 0<q<1  и b1>0 — то убывает.

Если q>0, то геометрическая прогрессия не монотонна.

Формула n-го члена геометрической прогрессии равна:

bn = b1⋅qn-1

Формула знаменателя геометрической прогрессии:

Формула знаменателя геометрической прогрессии

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии находится:

Геометрическая прогрессия формула суммы первых n членов

где q≠1 — знаменатель прогрессии, а Sn — сумма ее первых n членов,  S1=b1, Sn=bn.

Если q = 1, получаем выражение

Sn=b1⋅n

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии  |q|<1 определяется равенством:

Геометрическая прогрессия формула

при этом

Геометрическая прогрессия формула

Характеристическое свойство:

bn2=bn-1⋅bn+1


Пример 1

Найти q, если b1=3, b4=81

Решение

b4 = b1q3

81 = 3q3

q3=27

q=3


Пример 2

Дана геометрическая прогрессия 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …

Найти сумму этой прогрессии?

Решение

q = 4/8=1/2

$S = \frac{8}{{1 — \frac{1}{2}}} = 16$


Пример 3

Дана геометрическая прогрессия q=2; b1=5

Найти сумму первых семи её членов?

Решение

${S_7} = \frac{{5\left( {{2^7} — 1} \right)}}{{2 — 1}} = 635$


Пример 4

Дана геометрическая прогрессия 16; 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …

Найти сумму b10?

Решение

q = 8/16=1/2

b10 = 16⋅(1/2)9-1 = 1/16 = 0,0625

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.