Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, a3 … an, у которой задан первый член a1, а каждый следующий член которой, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d и равна:

an+1 = an + d

d — разность арифметической прогрессии

Если d>0, то арифметическая прогрессия возрастает, а если d<0 — то убывает.

Формула разности арифметической прогрессии (из любого члена вычесть предыдущий):

d = an — an+1

Формула n-го члена арифметической прогрессии равна:

an = a1 + (n – 1)⋅d

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии находится:

\[{S_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n\]

или

\[{S_n} = \frac{{2{a_1} + (n — 1)d}}{2} \cdot n\]

Здесь S1=a1, Sn=an

Свойство каждого члена арифметической прогрессии:

\[{a_n} = \frac{{{a_{n-1}} + {a_{n+1}}}}{2} \cdot n\]


Пример 1

Дана арифметическая прогрессия a1, a2, a3 … an
Известно, что а1 = 3, d = 5.

Требуется найти а12 — ?

Решение

a12 = а+ 11⋅d = 3 + 11⋅5 = 58


Пример 2

Известно, что а1 = -1, d = 2, an=151.

Требуется найти n ?

Решение

an = a1 + (n – 1)⋅d

151 = -1 + (n – 1)⋅2

151 = 2n – 3

n = 77


Пример 3

Найти сумму первых 25 членов арифметической прогрессии, заданной числовой последовательностью вида 3⋅n-2

Решение

\[{S_{25}} = \frac{{{a_1} + {a_{25}}}}{2} \cdot 25\]

a= 3⋅1 − 2 = 1

a25 = 3⋅25 − 2 = 73

\[{S_{25}} = \frac{{{1} + {73}}}{2} \cdot 25 = 925\]

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.