Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, a3 … an, у которой задан первый член a1, а каждый следующий член которой, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d и равна:
an+1 = an + d
d — разность арифметической прогрессии
Если d>0, то арифметическая прогрессия возрастает, а если d<0 — то убывает.
Формула разности арифметической прогрессии (из любого члена вычесть предыдущий):
d = an — an+1
Формула n-го члена арифметической прогрессии равна:
an = a1 + (n – 1)⋅d
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии находится:
\[{S_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n\]
или
\[{S_n} = \frac{{2{a_1} + (n — 1)d}}{2} \cdot n\]
Здесь S1=a1, Sn=an
Свойство каждого члена арифметической прогрессии:
\[{a_n} = \frac{{{a_{n-1}} + {a_{n+1}}}}{2} \cdot n\]
Пример 1
Дана арифметическая прогрессия a1, a2, a3 … an
Известно, что а1 = 3, d = 5.
Требуется найти а12 — ?
Решение
a12 = а1 + 11⋅d = 3 + 11⋅5 = 58
Пример 2
Известно, что а1 = -1, d = 2, an=151.
Требуется найти n ?
Решение
an = a1 + (n – 1)⋅d
151 = -1 + (n – 1)⋅2
151 = 2n – 3
n = 77
Пример 3
Найти сумму первых 25 членов арифметической прогрессии, заданной числовой последовательностью вида 3⋅n-2
Решение
\[{S_{25}} = \frac{{{a_1} + {a_{25}}}}{2} \cdot 25\]
a1 = 3⋅1 − 2 = 1
a25 = 3⋅25 − 2 = 73
\[{S_{25}} = \frac{{{1} + {73}}}{2} \cdot 25 = 925\]
718