Степенная функция и ее свойства

Функция вида:

 у = хn

называется степенной функцией с натуральным показателем.

При  n=1 получаем функцию вида у = х

Рассмотрим свойства функции у = kx:

  1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
  2.  Область значения — E(f)=(0; +∞).
  3. Нечетная, так как f( — kх) = k ( — х)= — kx = -f(x)
  4. При k > 0  функция возрастает,  а при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

Линейная функция y=x

График линейной функции y=x


При  n=2 получаем функцию вида у = х2 — эта функция называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у =х2 :

  1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
  2.  Область значения E(f) y∈[0; +∞).
  3. Чётная, так как f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)
  4. На промежутке (—∞; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +∞) функция возрастает.
  5. Корень x=0
  6. Экстремумы функции — min при x=0.

Парабола y=x^2

График параболы y=x2


При  n=3 получаем функцию вида у = х3 — эта функция называется кубической параболой.

Рассмотрим свойства функции у = х3:

  1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
  2.  Область значения — E(f)=(-∞; +∞).
  3. Нечётная, так как f( — х) = ( — x)3 = —x3 = —f (х)
  4. Функция возрастает на всей числовой прямой.
  5. Корень x=0
  6. Экстремумов нет.

Кубическая парабола y=x^3

График кубической параболы y=x3


Замечание

Если n>2 и произвольное четное натуральное число (n=4, 6, 8,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция  у=х2 и график функции напоминает параболу.  

Если n>3 и произвольное нечетное натуральное число (n=5, 7, 9,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция  у=х3 и график функции напоминает кубическую параболу.  

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Степенная функция вида:

$$y = \frac{k}{x^n}$$

или

у = kхn

называется степенной функцией с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функции при  n=1 и  n=2.


При  n=1 получаем функцию вида $y = \frac{k}{x}$ — эта функция называется гиперболой.

Рассмотрим свойства функции $y = \frac{k}{x}$:

  1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
  2.  Область значения — E(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
  3. Нечётная, так как f( — х) = k/( — x) = —k/x = —f (х)
  4. При k > 0 на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция убывает, а при k < 0 на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция возрастает.
  5. Экстремумов нет.

График функции гиперболы

График гиперболы $y = \frac{1}{x}$ 


При  n=2 и k=1 получаем функцию вида $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ .

Рассмотрим свойства функции $y = \frac{1}{{{x^2}}}$:

  1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
  2.  Область значения — E(f)=(0; +∞).
  3. Чётная.
  4. Функция убывает на промежутке (0; +∞) и возрастает на промежутке (-∞; 0).

График

График функции $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ 


Рассмотрим элементарную функцию с корнем $y = \sqrt x $

Свойства функции $y = \sqrt x $:

  1. Область определения — D(f)=[0; +∞).
  2.  Область значения — E(f)=[0; +∞).
  3. Функция ни чётная, ни нечётная.
  4. Функция возрастает на [0; +∞).
  5. Экстремумов нет.
  6. Корень x=0
  7. Экстремумы функции — min при x=0.

y=корень из x график функции

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.