Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой же плоскости на заданное расстояние (рисунок 1).

Круг — часть плоскости, которая ограниченна окружностью (рисунок 1).

Другое понятие круга.

Круг — это часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью (рисунок 1).

Круг и окружность

Рисунок 1

Радиус r — это любой отрезок, соединяющий центр окружности и точку окружности. На рисунке 2 это отрезок OC.

Также радиус от лат. называли спицу в колесе.

Окружность

Рисунок 2

Хорда — это отрезок AB, соединяющий две точки окружности (рисунок 2).
Диаметр — это хорда BE, проходящая через цент окружности (рисунок 2).
Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части (рисунок 2). Каждая из этих кривых называется дугой окружности, а точки A и D — концы этих дуг.

Дуга обозначается как  AD (рисунок 2).

Длина дуги окружности  AB (рисунок 3) находится по формуле:

длина дуги окружности формула
Окружность сегмент сектор

Рисунок 3

Сектор круга — это часть плоскости, ограниченная двумя радиусами и его дугой (рисунок 3).

Площадь сектора, формула:

площадь сектора

Сегмент круга — это часть плоскости, ограниченная хордой и дугой (рисунок 3).

Площадь сектора окружности, формула:

площадь сегмента формула

Касательной называется прямая a, имеющая с окружностью только одну общую точку A (рисунок 5).

Формула для расчета длины окружности через радиус:

L=2πr

Формула для расчета длины окружности через диаметр:

L=2πd

Формула для определения площади круга через радиус:

S=πR2

Формула для определения площади круга через диаметр:
формула площадь круга через диаметр

Окружность угол

Рисунок 4

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Формула для определения длины хорды  AB через радиус и центральный угол ∠BOA:

AB=2rsin α/2

Формула для определения длины хорды через радиус и вписанный угол ∠CED:

CD=2rsinα

Свойства касательной к окружности


Одно из свойств касательной к окружности (рисунок 5) заключается в том, что касательная a к окружности перпендикулярна ее радиусу OA. Из этого вытекает аналогичное свойство, т.е. касательная , проходящая через точку касания с окружностью, перпендикулярна диаметру.

OA⊥a

Окружность касательная

Рисунок 5


Окружность

Рисунок 6

CA, CB – касательные
A, B – точки касания
CA = CB
В соответствии с рисунком 6, получаем свойство

∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.


Свойства секущей окружности

Секущая окружности — это прямая BE, имеющая с окружностью две общие точки (рисунок 7).

В соответствии с рисунком 7, получаем свойство

BA2=BF⋅BD

BA2=BE⋅BC

где AB — касательная

BE, BF — секущие

Из этого свойства вытекает следующее свойство, произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки равны:

BF⋅BD=BE⋅BC

Окружность

Рисунок 7


Свойства окружности

  1. Диаметр окружности равен сумме двух радиусов, то есть

d =r+r=2·r

  1. Через три точки, не лежащих на одной прямой, можно построить только единственную окружность.
  2. Если взять все замкнутые кривые с одинаковой длиной, то окружность имеет максимальную величину площади.
  3. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей или хорде всегда меньше величины радиуса.

  4. Если две окружности соприкасаются внешне или внутренне в одной точке, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой.

Свойства углов окружности

На рисунке 8
 CB — дуга окружности
∠COB — центральный угол
∠CAB — вписанный угол
Получаем следующее тождество:

∠CAB = ∠COB/2

при этом длина  дуги окружности  CB должна быть меньше длины полуокружности.

Окружность половина дуги

Рисунок 8


Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рисунок 9).
Окружность вписанные углы

Рисунок 9


Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой (рисунок 10).
Окружность вписанные прямоугольные углы

Рисунок 10


Свойство хорд окружности

Окружность свойство хорд

Рисунок 11

AB; CD – хорды

E — точка пересечения хорд

AE · EB = CE · ED

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды AB равно произведению отрезков другой хорды CD


Окружность свойство хорд

Рисунок 12

Если хорда AB равна хорде DC, то их дуги тоже равны, т.е.

AB=DC ⇒ ∪AB=∪DC


Окружность свойство хорд

Рисунок 13

Если хорда AB параллельна хорде DC, то их дуги равны, т.е.

AB//DC ⇒ ∪AB=∪DC


Окружность свойство хорд

Рисунок 14

Если радиус окружности OD перпендикулярен хорде AB, то он делит хорду пополам в точке их пересечения С, т.е.

OD⊥AB ⇒ ∪AC=∪BC


Окружность вписанный угол

Рисунок 15

Сумма двух вписанных углов, опирающих на одну хорду и находящихся по разные стороны от нее, равна 180°, т.е.

α + β = 180°

Окружность свойство

Рисунок 16

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.