Вогнутость, выпуклость и точка перегиба функции

Вогнутость и выпуклость функции

Выпуклой функцией y=f(x) называется такая функция, у которой вторая производная на данном промежутке принимает отрицательные значения, то есть:

f ′′(x)<0

Вогнутой функцией y=f(x) называется такая функция, у которой вторая производная на данном промежутке принимает положительные значения, то есть:

f ′′(x)>0

На графике 1 показана выпуклость функции, а на графике 2 показана вогнутость функции

Выпуклость функции график

График 1 — Функция находится ниже касательных к графику функцийВогнутость функции график

График 2 — Функция находится выше касательных к графику функций


Точки перегиба функции

Точками перегиба графика непрерывной функции называют такие точки, у которых при f ′′(x) изменяется знак при переходе аргумента через критическую точку и третья производная не равна нулю.
Точка перегиба график
Здесь x0 — точка перегиба


Пример
Найдите точки перегиба для функции:
$y=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+x-3$
Функция имеет график
график 
Решение
Первая производная функции равна:
$y^{′}=3x^{3}-x+1$
Вторая производная функции равна:
$y^{′′}=9x^{2}-1$
Третья производная функции равна:
$y^{′′′}=18x$ больше нуля.
Из функции $y^{»}=9x^{2}-1$ найдем точки перегиба
$9x^{2}-1=0$ отсюда $x=\pm\frac{1}{3}$
График функции с точками перегиба
график пример точек перегиба

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

714

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.