Замечательные кривые

Линии кривых в полярной системе координат

Семейство роз Гранди

Уравнение имеет вид:

ρ=asinkφ

a — радиус лепестка;

k — положительный параметр, отвечает за количество лепестков.

Свойство:

|sin(kφ)| ≤1

Семейство роз Гранди 3 лепестка

Рисунок 1 — роза с тремя лепестками ρ=sin3φ

Семейство роз Гранди 16 лепестков

Рисунок 2 — роза с 16 лепестками ρ=sin8φ

Семейство роз Гранди ромашка

Рисунок 3 — семейство роз Гранди — напоминает ромашку ρ=sin20φ

 Семейство роз Гранди

Рисунок 4 — семейство роз Гранди — линия похожа на зрачок глаза ρ=sin100φ


Логарифмическая спираль

Уравнение логарифмическая спираль (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

ρ = 2

Логарифмическая спираль


Кардиоида

Уравнение кардиоиды (перев. греч. сердце и видв полярных координатах:

ρ=a(1+Cοsφ)

Кардиоида


Астроида

Уравнение астроиды (перев. греч. звезда и вид):

x2/3 + y2/3 = a2/3

или

x = a cos3t

y = a sin3t

Астроида


Строфоида

Уравнение строфоиды (перев. греч. крученая лента, поворот):

y2 (a — x)= x2 (a + x)

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

$\rho  =  — \frac{{a\cos 2\varphi }}{{\cos \varphi }}$

Строфоида


Декартов лист

Уравнение декартова листа:

x2 + y2 — 3axy = 0

Уравнение декартова листа в полярной системе координат:

$$\rho = \frac{{2a\cos \phi \sin \phi }}{{{{\cos }^2}\phi + {{\sin }^2}\phi }}$$

Декартов лист


Циссоида

Уравнение циссоиды Диоклеса (перев. греч. плющ, вид) в прямоугольной системе координат:

y2 = x3/(a + x

Параметрическое уравнение циссоиды:

x =  at2/(1 + t2

x =  at3/(1 + t2

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$$\rho  = \frac{{2a{{\sin }^2}\varphi }}{{\cos \varphi }}$$

Циссоида


Циклоида

Параметрическое уравнение циклоиды:

x = R (t — sint)

y = R (1 — cost)

Циклоида


Кохлеоида

Уравнение кохлеоиды (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

$\rho  = \frac{{\pi a}}{2}\frac{{\sin \varphi }}{\varphi }$

Кохлеоида

 


Лемниската Бернулли

Уравнение лемниската Бернулли в прямоугольных координатах:

(x+ y2)2 = a2 (x— y2)

Уравнение лемниската Бернулли в полярных координатах:

р2 = a2соs2φ

Лемниската Бернулли


Архимедова спираль рассмотрена здесь подробно.


Применяя математические уравнения замечательных кривых, можно получить вот такие геометрические линии.

 

Семейство роз Гранди

Сердечко

Математическое уравнение сердца имеет вид:

Уравнение сердца

Лист клена

Лист клена, уравнение:

Уравнение клена

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.