Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости
  A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0
перпендикулярны, то и их нормальные векторы (нормали) перпендикулярны, т.е.
N1{A1;B1;C1} ⊥ N2{A2;B2;C2},
тогда условие перпендикулярности плоскостей запишем:
  A1⋅A2+B1⋅B2+C1⋅C2=0 
Условие перпендикулярности плоскостей

Пример 

  Плоскости  2x-y-2z+5=0 и 2x+2y+z+3=0 перпендикулярны, так как
2⋅2+(-1)⋅2+(-2)⋅1=0
 Перпендикулярные плоскости

Объём параллелепипеда построенного на векторах

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

a1={X1;Y1;Z1}, a2={X2;Y2;Z2} и a3={X3;Y3;Z3} равен модулю смешанного произведения векторов и  находится по формуле:

Объём параллелепипеда формула

где координаты векторов в соответствии с рисунком

Параллелепипед на трех векторах рисунок

вычисляются следующим образом

a1=$\overrightarrow {AA_1} $={X1=Xa1-Xa; Y1=Ya1-Ya; Z1=Za1-Za; }

a2=$\overrightarrow {AD} $={X2=Xd-Xa; Y2=Yd-Ya; Z2=Zd-Za; }

a3=$\overrightarrow {AB} $={X3=Xb-Xa; Y3=Yb-Ya; Z3=Zb-Za; }

  Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.


Пример

  Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1={2;3;2}, a2={-1;-4;3} и a3={3;1;2}

Решение

$V =  \pm \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&2 \\  { — 1}&{ — 4}&3 \\ 3&1&2 \end{array}} \right| =  $

$=\pm \left( {2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { — 4}&3 \\ 1&2 \end{array}} \right| — 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&3 \\ 3&2 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&{ — 4} \\ 3&1 \end{array}} \right|} \right) = $

$ =  \pm \left( {2\cdot\left( {\left( { — 4} \right)\cdot2 — 1\cdot3} \right) — 3\left( {\left( { — 1} \right)\cdot2 — 3\cdot3} \right) + 2\left( {\left( { — 1} \right)\cdot1 — 3\cdot\left( { — 4} \right)} \right)} \right) = -33$

  Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак «».

Тогда объём параллелепипеда равен  V=33

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.