Деление отрезка в данном отношении в пространстве

Деление отрезка в данном отношении в пространстве определяется следующими уравнениями

Деление отрезка в данном отношении в пространстве уравнения

Данные уравнения получаются следующим образом

Вектор в пространстве

Пусть даны две точки A1(x1, y1,z1) и A2(x2, y2,z2).

Требуется найти координаты точки A0(x0, y0,z0), делящей отрезок в отношении λ, т.е.

$\frac{{\overrightarrow {{A_1}{A_0}} }}{{\overrightarrow {{A_0}{A_2}} }} = \lambda $ или $\overrightarrow {{A_1}{A_0}}  = \lambda \overrightarrow {{A_0}{A_2}} $

$\overrightarrow {{A_1}{A_0}}  = \left( {{x_0} — {x_1},{y_0} — {y_1},{z_0} — {z_1}} \right)$

$\overrightarrow {{A_0}{A_2}}  = \left( {{x_2} — {x_0},{y_2} — {y_0},{z_2} — {z_0}} \right)$

${x_0} — {x_1} = \lambda \left( {{x_2} — {x_0}} \right)$

${z_0} — {z_1} = \lambda \left( {{z_2} — {z_0}} \right)$

${z_0} — {z_1} = \lambda \left( {{z_2} — {z_0}} \right)$

Отсюда получаем исходные уравнения, т.е.

Деление отрезка в данном отношении в пространстве уравнения

Деление отрезка в данном отношении на плоскости см. здесь


Рассмотрим ещё один из способов деления отрезка в данном отношении в пространстве.

Радиус-вектор

Пусть радиус-вектор r точки A0, делящий отрезок А1А2 в отношении А1А00А2=m1:m2 определяется формулой:

Радиус-вектор Деление отрезка в данном отношении

где r1  и r2радиус-вектор точек А1  и А2

Координаты точки A0 находятся по формулам

${x_0} = \frac{{{m_2}{x_1} + {m_1}{x_2}}}{{{m_1} + {m_2}}},$

${y_0} = \frac{{{m_2}{y_1} + {m_1}{y_2}}}{{{m_1} + {m_2}}},$

${z_0} = \frac{{{m_2}{z_1} + {m_1}{z_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}$


Координаты середины отрезка в пространстве

В частности координаты середины отрезка А1А2 в пространстве определяются уравнениями:

Координаты середины отрезка в пространстве


Пример

Найти координаты точки А, делящей отрезок А1А2 в отношении А1А:АА2=2:3, если  A1{3; 4; -2} и A2{-6; -1; 3}

Находим

$x = \frac{{{m_2}{x_1} + {m_1}{x_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{3\cdot3 + 2\cdot\left( { — 6} \right)}}{{2 + 3}} =  — \frac{3}{5}$

$y = \frac{{{m_2}{y_1} + {m_1}{y_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{3\cdot4 + 2\cdot\left( { — 1} \right)}}{{2 + 3}} =  — 2$

$z = \frac{{{m_2}{z_1} + {m_1}{z_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{3\cdot\left( { — 2} \right) + 2\cdot3}}{{2 + 3}} = 0$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.