Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность наступления события А, заключающийся в появлении хотя бы одного из n независимых в совокупности событий А1, А2,…, Аn определяется по формуле:
Вероятность появления хотя бы одного события формула

$P\left( A \right) = 1 — P\left( {\bar A} \right) = 1 — {q_1}\cdot{q_2}\cdot \ldots \cdot{q_n}$

$\overline {{A_1}} ,\overline {{A_2}} , \ldots ,\overline {{A_n}} $  — вероятности противоположных событий.
Вероятность наступления противоположного события $\overline {{A}}$ находится по формуле:
Вероятность противоположного события формула1
или

q=1–p

где q — вероятность наступления события, противоположного событию A


Пример 1
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
q1 — вероятность неисправности первого платёжного автомата;
q2 — вероятность неисправности второго платёжного автомата.
Искомая вероятность равна:

P=1–0.02·0.02=0.9996


Пример 2

Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

Решение

А — «стрелки получат приз». Из условия задачи вероятность попадания равна р=0.3, следовательно вероятность их промаха

q=1–р=1–0,3=0,7

Отсюда искомая вероятность равна

  P(A)=1–q4=1–0,74=

=1–0,2401=0,7599


Пример 3
Вероятность попадания при одном выстреле в мишень 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания при 4 выстрелах.
Решение

q=1–р=1–0,7=0,3

P(A)=1–q4=1–0,34=

=1–0,0081=0,9919


Пример 4
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Решение
А«устройство не работает»
A1«отказал первый элемент»
A2«отказал второй элемент»
Найдём вероятности безотказной работы независимых элементов
q1=1-0,05=0,95,  
q2=1-0,08=0,92
Следовательно, вероятность того, что устройство не работает равна

 P(A)=1-q1·q2=1-0,95·0,92=

==1-0,874=0,126


Пример 5
Вероятность того что студент сдаст первый экзамен равна 0.7, второй — 0.5, третий — 0.6. Найти вероятность того, что студентом будет сдан хотя бы один экзамен.
Решение
Здесь событие A — студент сдаст все экзамены
Противоположное событие $\overline {{A}} $ студент не сдаст все экзамены
По теореме умножения имеем

P(A)=1-(1-p1)·(1-p2)·(1-p3)

P(A)=1-(1-0.7)·(1-0.5)·(1-0.6)=0.94


Пример 6

Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,5; 0,6

Решение

А — «мост разрушен»

$\overline {{A}}$— «ни одна авиационная бомба не попала в мост»

Здесь события:

A1=0.3, A2=0.4, A3=0.5, A4=0.6 из условия задачи.
Воспользуемся формулой:
Вероятность противоположного события формула1
Находим соответствующие им вероятности

$\overline {{A_1}}$ — «первая авиационная бомба не попала в мост »

Р( $\overline {{A_1}}$ ) = 1-0,3 = 0,7

$\overline {{A_2}}$ — «вторая авиационная бомба не попала в мост »

Р($\overline {{A_2}}$) = 1 — 0,4 = 0,6

$\overline {{A_3}}$ — «третья авиационная бомба не попала в мост »

Р($\overline {{A_3}}$) = 1 — 0,5 = 0,5 

$\overline {{A_4}}$ — «четвёртая авиационная бомба не попала в мост »

Р($\overline {{A_4}}$) = 1-0,6 = 0,4

Из условия задачи события  A1, A2, A3 и A4  независимы, следовательно получаем

пример формула

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.