Функция распределения дискретной и непрерывной случайной величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньшее x, то есть

F(x) = р(Х<х)

Также функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Плотность распределения вероятности (также называют дифференциальной функцией) функции распределения  определяет непрерывную случайную величину.

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна на всей числовой оси.

Обозначение: F(x)  

  Свойства функции распределения случайной величины

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
0≤F(x)≤1
2. Функция монотонно возрастающая, т. е. если x> xi , то F(xj) > F(xi)
3.
 свойства
4. P(a≤X<b) = F(b) — F(a)

 Пример 1 (Функция распределения дискретной случайной величины)

  По заданному закону распределения случайной величины X,  вычислить функцию распределения дискретной случайной величины.
X 0 1 2 3 4
P 0,2 0,1 0,25 0,15 0,3
Решение
  Если x≤0, то F(x)=Р(Х<0)=0, следовательно событие при Р(Х<0) невозможно.
  Если 0<x≤1то F(x)=Р(Х<1)=Р(Х=0)=0.2
  Если 1<x≤2то F(x)=Р(Х<2)=Р(Х=0)+Р(Х=1)=0.2+0.1=0.3
  Если 2<x≤3то F(x)=Р(Х<3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)=0.2+0.1+0.25=0.55
  Если 3<x≤4, то F(x)=Р(Х<4)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=3)=
=0.2+0.1+0.25+0.15=0.7
  Если x>4, то F(x)=Р(Х<4)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=)+Р(Х=4)=
=0.2+0.1+0.25+0.15+0.3=1
  Получаем функцию распределения дискретной СВ в аналитическом виде:
пример
  График функции распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Пример 2 (Функция распределения непрерывной случайной величины)

Пример для непрерывной случайной величины X можно посмотреть здесь.

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.