Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел выражается формулой:

Первый замечательный предел формула

Следствием первого замечательного предела являются выражения:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{tgx}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{arcsinx}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{arctgx}{x}=1$


Второй замечательный предел

Второй замечательный предел определяется из формулы:

Второй замечательный предел формула

Следствием второго замечательного предела являются следующие математические зависимости:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{x}}}=e$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{k}{x} \right)}^{x}}={{e}^{k}}$

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределённости вида — 1.


Следствия замечательных пределов, формулы:

Четвёртый замечательный предел формула

Третий замечательный предел формула

Пятый замечательный предел формула

следствие предел формула


Пример 1 (первый замечательный предел)

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\left( \frac{0}{0} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

Пример 2 (второй замечательный предел)

$\underset{x\ \to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\,{{\left( \,1+\frac{2}{x}\, \right)}^{x}}=\underset{x\ \to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,\,\,{{\left( {{\left( \,1+\frac{2}{x}\, \right)}^{\frac{x}{2}}} \right)}^{2}}={{e}^{2}}$

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

126

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.