Пучок плоскостей

Множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую KM, называется пучком плоскостей.

Прямая KM называется осью пучка.

 Пучок плоскостей
Если известны уравнения двух различных плоскостей P1 и P

  A1x+B1y +C1z+D1=0  
  А2х+В2у+C2z+D2=0  

принадлежащих пучку, то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида:

   m1⋅(A1x+B1y+C1z+D1)+m2⋅( А2х+В2у+C2z+D2)=0

  Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей
Когда m1≠0, можно разделить уравнение на m1. Обозначив m1:m2 через λ, получим уравнение:

A1x+B1y+C1z+D1+λ⋅( А2х+В2у+C2z+D2)=0 


Пример 1
Даны уравнения
5х-3у=0  и  3z-4x=0
Уравнение пучка есть:
m1(5х-3у) + m1(3z-4x )=0
Например, взяв  m1=1,  m2=-2, будем иметь:
1(5х-3у) + (-2)(3z-4x )=0
Отсюда получаем:
13x-3y-6z=0
Уравнение представляет одну из плоскостей пучка.


Пример 2
Найти уравнения проекции прямой T
2x+3y+4z+5=0, x-6y+3z-7=0
на плоскость P
2x+2y+z+15=0
Плоскость
Решение

Искомая проекция представляется уравнением вида:
(2x+3y+4z+5)+λ(x-6y+3z-7)=0

Чтобы найти λ, представим в виде:
(2+λ)х+(3-6λ)у+(4+3λ)z+5-7λ=0 (1)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей:

Подставляя A=2, B=2, C=1, получаем:
2(2+λ)+2(3-6λ)+1(4+3λ)=0
Отсюда  λ=2. Подставляя  λ=2 в уравнение (1), получим уравнение плоскости S. Искомая проекция  представляется уравнениями:

4x-9y+10z-9=0

2x+2y+z+15=0

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.