Пучок плоскостей

Множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую KM, называется пучком плоскостей.

  Прямая KM называется осью пучка.
 
  Если известны уравнения двух различных плоскостей P1 и P2
  A1x+B1y+C1z+D1=0  
  А2х+В2у+C2z+D2=0  
принадлежащих пучку, то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида:
   m1*(A1x+B1y+C1z+D1)+m2*(А2х+В2у+C2z+D2)=0
 
  Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей
  При P1=0 получаем плоскость P2 , а при P2= 0 — плоскость P1.
  Когда m1≠0, мы можем разделить уравнение на m1. Обозначив m1:m1 через λ, получим уравнение:
  A1x+B1y+C1z+D1 +λ*( А2х+В2у+C2z+D2)=0
 
  Пример 1
  Даны уравнения
  5х-3у=0  и  3z-4x=0        
  Уравнение пучка есть:
  m1*(5х-3у)+ m1*(3z-4x )=0    
  Например, взяв  m1=1m2=-2, будем иметь:
  1*(5х-3у)+ (-2)*(3z-4x )=0   
  Получаем:
  13x-3y-6z=0          
  Уравнение представляет одну из плоскостей пучка.
  Пример 2
  Найти уравнения проекции прямой T
  2x+3y+4z+5=0, x-6y+3z-7=0 
  на плоскость Р
  2x+2y+z+15=0
  Решение
  Искомая проекция представляется уравнением вида:
  (2x+3y+4z+5)+λ*(x-6y+3z-7)=0
  Чтобы найти λ, представим в виде:
  (2+λ)х+(3-6λ)у+(4+3λ)z+5-7λ=0 (~)  
и запишем условие перпендикулярности плоскостей:
    Подставляя A=2, B=2, C=1, получаем:
  2*(2+λ)+2*(3-6λ)+1*(4+3λ)=0   
Отсюда  λ=2. Подставляя  λ=2 в уравнение (~), получим уравнение плоскости S. Искомая проекция  представляется уравнениями:

пример

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.