Эллипс

Эллипс– геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:
F1M+F2M=2a.

 

 

точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;
расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с; 

a
-большая полуось;
b -малая полуось;
c -фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;
p — фокальный параметр;
Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;
Rmax — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;
Каноническое уравнение эллипса

где

Фокальный параметр находится

Коэффициент сжатия эллипса (эллиптичность):

Сжатие эллипса

Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением

Эксцентриситет эллипса

Полуоси a, b и полуфокусное расстояние c эллипса выражаются через ε следующим образом

Пример 1

  Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Решение

 

 Пример 2
   Постройте кривую 4x2+9y2=36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.
Решение
 Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

   a=3, b=2 
Делаем чертёж
c2=a2-b2=32-22=9-4=5

Отсюда Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом

Эксцентриситет эллипса

Пример 2
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет. Решение 
Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b<а. А если
переобозначить оси, то есть
x=x’ , y=y’ , тогда уравнение примет вид:


И тогда a=5, b=1
Делаем чертёж

c2=a2-b2=52-12=25-1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты
Эксцентриситет эллипса

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.