Теорема сложения вероятностей. Формулы. Задачи с решениями.

Теорема 1. 

Для любых двух событий А и В:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А*В)
 
Пример 1

Найти вероятность того, что из колоды, содержащей 36 карт, вынут туз или пиковую масть.

Решение.
  Пусть событие А — «вытащили туз»; В — «вытащили пиковую масть». Тогда событие АВ — «вытащили пиковый туз». По теореме сложения вероятностей
  Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А*В)
P(A)=4/36=1/9
P(A)=9/36=1/4
Найдем вероятность Р(АВ). Так
как событие АВ — «вытащили пиковый туз», то вероятность этого события равна 1/36, поэтому
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)=4/36+9/36-1/36=12/36=1/3

Теорема 2. 

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
  Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Пример 2

  Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 — волейболом, 5 — волейболом и баскетболом, а остальные — другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом?
Решение.
  Пусть событие А — «учащийся занимается баскетболом», событие В — «учащийся занимается волейболом», тогда событие АВ — «учащийся занимается баскетболом и волейболом». Введем события: А1 — «учащийся занимается только баскетболом», В2 — «учащийся занимается только волейболом».Тогда событие А1+ В1 — «наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом». События А11 — независимые. По теореме сложения вероятностей
  P(A1+B1)=P(A1)+P(B1)=P(A)-P(A*B)+P(B)-P(A*B)=P(A)+P(B)-2*P(AB)
  Так как

P(A)=12/30

P(A)=15/30

P(A*B)=5/30

то

    P(A1+B1)= 12/30+15/30-2*5/30=1/30
Теорема 3
Если события А12,…,Аn образуют полную группу, то
  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+A(An)
 
Теорема 4
  Сумма противоположных событий равна 1, т. е.
 

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.