Геометрическое определение вероятности. Задачи и решения.

Классическое определение вероятности применимо только тогда, когда исходы несовместны, единственно возможны и равновозможны. При этом предполагается, что число исходов конечно. В случаях, если число возможных исходов бесконечно, используют геометрические вероятности — вероятности попадания точки в отрезок, часть плоскости и т.д.

  Пусть отрезок длиной l включается в отрезок длиной L. Вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на отрезок длиной l» определяется равенством
формула вероятности длины

  Пусть плоская фигура площадью s включается в плоскую фигуру площадью S. Вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на плоскую фигуру площадью s» определяется равенством

формула вероятности площади

Пусть пространственная фигура объемом v включается в пространственную фигуру объемом V. Вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на пространственную фигуру объемом v» определяется равенством

формула вероятности объёма
  Рассмотрим примеры на вычисление геометрической вероятности.
Пример 1
  На отрезок ОА длиной L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение

  Пусть событие А — «меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую чем —L/3».
  Разобьем отрезок ОА на три равных отрезка (длиной — L/3) ОС, CD и DA.
  Рассмотрим положение точки В на отрезке ОА. Если точка В попадает на отрезок ОС, то меньший из отрезков ОВ по длине меньше L/3. Если точка В попадает на отрезок DA, то меньший из отрезков также меньше L/3. Если точка В попадает в отрезок CD, то наименьший из отрезков ОВ и ВА будет больше L/3. Поэтому попадание токи В в отрезок CD благоприятствует появлению события A.
Пример 2
  В круг радиусом R помещен меньший круг радиусом г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Решение.
Пусть событие А — «точка, брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг»
Данный ниже рисунок показывает графически отношение ( нажмите на рисунок)


Пример 2

  Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Решение
  Пусть радиус круга R. Пусть событие А — «точка окажется внутри вписанного в круг квадрата».
 

Пример 3

  Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).
Решение
  Многоугольник AOBCMD— есть многоугольник моментов встречи студентов, каждый из которых ждет другого не более 15 минут.
  SAOBMCD=SOKML-2*SBKC
 
  SBKC=1/2*BK*CK=1/2*3/4*3/4=9/32

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.