Формула Бейеса. Примеры с решениями.

Формула байеса

Это формула Бейеса.
  Рассмотрим применение формулы Бейеса при решении задач.
  Пример 1
  Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.
  Решение.
  Пусть событие А — «изделие при проверке было признано стандартным». Введем два предположения:
 В1— «изделие попало к первому товароведу», Р(В1)=0,55;
 В2 — «изделие попало ко второму товароведу».  Р(В1)=0,45.

  Условная вероятность того, что изделие признано стандартным первым товароведом, РB1(А)=0,9, а условная вероятность, что изделие признано стандартным вторым товароведом, РB2(А)=0,98.
Для нахождения вероятности того, что изделие проверил второй товаровед, воспользуемся формулой Бейеса:

пример
  Пример 2 
  В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без нее?
  Решение.
Пусть событие А — «стрелок поразил мишень». Введем два предположения:
В1 — «мишень поражена из оптической винтовки»;
В2 — «мишень поражена из винтовки без оптического прицела». Так как из 10 винтовок 4 с оптическим прицелом, то P(В1)=0,4, а Р(В2)=0,6. Условная вероятность того, что мишень будет поражена при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, РB1(А)=0,95. Условная вероятность того, что мишень

будет поражена при выстреле из винтовки без оптического прицела, РВ2(А)=0,8.
По формуле полной вероятности вероятность того, что произойдет событие А, равна:

  Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)=0,4*0,95+0,6*0,8=0,38+0,48=0,86. 
  Применив формулу Бейеса, найдем РА1) и РА2), т.е. вероятности того, что мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без оптического прицела:
пример
Так как
, то более вероятно то, что мишень будет поражена из винтовки без оптического прицела.

Пример 3

  Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,4.
  Решение. 
  Пусть событие А — «два стрелка поразили мишень». Введем
предположения:
  В1 — «третий стрелок поразил мишень», Р(В1)=0,4;
  В2 — «третий стрелок не поразил мишень». Событие  В2 противоположно событию  В1, поэтому
  Р(В2)=1-Р(В1)=1-0,4=0,6.
  Найдем условную вероятность РB1(А) того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что попал третий стрелок. Данное событие возможно только в случае, если попал первый стрелок или попал второй стрелок, т.е. попал только один из стрелков, поэтому
РB1(А)=p1*q2+q1*p2, где р1(р2) и q1(q2) — вероятности попадания и промаха при стрельбе по мишени первым (вторым) стрелками.
  РВ1(А)=0,6*(1-0,5)+(1-0,6)*0,5=0,3+0,2=0,5. 
  Найдем условную вероятность  РB2(А) того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что третий стрелок не попал в мишень. Данное событие возможно только в случае, если в мишень попали и первый и второй стрелки, т.е. одновременно осуществились два независимьа события, поэтому, применяя теорему умножения, имеем:
  РB2(А)=p1*p2=0,6*0,5=0,3.
  Применив формулу Бейеса, получим
пример

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.