Нормальное распределение.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

 

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание.
  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна
  а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)
  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами аσ  вычисляется по формуле:
с использованием интеграла вероятности
P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(β-a/σ)-Ф(a-a/σ)
Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:
P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)
 ,где  δ — величина отклонения.
  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем
  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973
  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.
  Пример 1
  На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см.
  Решение.
P(19.7<x<20.3)=Ф(20.3-20/0.3)–Ф(19.7-20/0.3)=Ф(1)-Ф(-1)
  В силу нечетности функции Ф(х):
P(19.7<x<20.3)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1)Из таблицы функции Лапласа получаем:
  Ф(1) =0,3413. Следовательно, Р(19,7<х<20,3)=2Ф(1) = 0,6826.
  Пример 2 
  Определить среднее квадратическое отклонение показаний прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,79 не выходят за пределы ±20 мм.
  Решение.
  Пусть случайная величина X — ошибка показаний прибора.
Из условия задачи следует, что Р(|Х|<20)=0,79. Из формулы
P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)
получим
2Ф(δ/σ)=0.79⇒Ф(δ/σ)=0.395
δ/σ=1.25
    откуда, подставляя  δ=20, найдем
σ=20/1.25=16 мм

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.