Биноминальное распределение

Закон биноминального распределения случайной величины

Распределение вероятностей, вычисляемых по формуле Бернулли,

 
называется биномиальным.
  Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения имеют вид:
  M(X)=n*p
 
  D(X)=n*p*q
 
  Пример 1
  В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон
распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.
  Решение.
  Так как в партии 10% нестандартных деталей, то вероятность появления случайной величины X p= 0,1, т.е. q=1-р=0,9. Случайная величинах может принимать значения:
0, 1, 2, 3 и 4.
  Составим биномиальный закон распределения случайной величины X, применив формулу Бернулли
  
  Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001=1.
  Искомый биномиальный закон распределения случайной величины X имеет вид:
X 0 1 2 3 4
P 0.6561 0.2916 0.0486 0.0036 0.0001

 Пример 2

  Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X— числа появлении «герба» при двух бросаниях монеты.
  Решение.
  Случайная величина X может принимать значения: 0, 1, 2.
  Вероятность выпадения четного числа очков при одном бросании кости p=1/2, поэтому q=1-p=1-1/2=1/2. Так как появление «герба» при двух бросаниях монеты — независимые события, то для составления биномиального закона распределения случайной величины X применима формула Бернулли:
  Контроль: 1/4+1/2+1/2=1
  Напишем искомый биномиальный закон распределения X.
X 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4

  Пример 3

  Две игральные кости одновременно иросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
 
  Решение.
  Так как две игральные кости бросают два раза, то всего возможных исходов выпадения очков четыре:

  нечетное число очков — нечетное число очков;

  четное число очков -— нечетное число очков;
  нечетное число очков — четное число очков;
  четное число очков — четное число очков.

И только один из этих исходов соответствует дискретной случайной величины X, поэтому вероятность появления события X равна р=1/4, а следовательно, q=1-p=1-1/4=3/4.

  Случайная величина X может принимать значения: 0, 1, 2.
  Выпадение очков на каждой из костей — независимые между собой события, поэтому применима формула  Бернулли.
Составим биномиальный закон распределения случайной ветчины X:
  Контроль: 9/16+6/16+1/16=1
  Напишем искомый биноминальный закон распределения X:
X 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4

Пример 4

  В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X— числа стандартных деталей среди отобранных.
  Решение.
  Дискретная случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных — имеет значения: 1; 2; 3. Так как среди деталей только две нестандартные, а отбирают три детали, то одна стандартная деталь будет всегда отобрана. Найдем вероятность того, что среди трех отобранных деталей х стандартных.
  Пусть событие А — «из отобранных трех деталей х стандартных». Р(А) =m/n, где n равно общему числу исходов (способов),   которыми   можно   выбрать   три   детали   из   шести
n=C36
  Вычислим  число  исходов  m,  благоприятствующих появлению события А.
  Так как стандартных деталей четыре,а из них выбирают х деталей, то
n=Cx4 — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.
  Оставшееся количество деталей, а именно (3-х), должно быть выбрано из двух нестандартных деталей. Таким образом,
n=C3-x2  — общее число способов отбора нестандартных деталей
n=C4 — число исходов, благоприятствующих событию
 т.е.
  Составим закон распределения дискретной случайной величины X:
  P(X=0)=0, так как событие X=0 невозможно
P(X=1)=12/5*1!*3!*2!*0!=1/5=0.2
P(X=2)=12/5*2!*2!*1!=3/5=0.6
P(X=3)=12/5*3!*1!*2!*1!=1/5=0.2
  Контроль: 0.2+0.6+0.2=1
  Биноминальный закон распределения X:
 
X 1 2 3
P 0.2 0.6 0.2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.