По какому предмету больше всего Вам нравятся онлайн тесты?
Всего ответов: 2332


Онлайн всего: 39
Гостей: 39
Пользователей: 0
Форма входа
Главная » Статьи » Теория вероятности » Теория вероятности
Формула Бейеса. Примеры с решениями.

    PA(Bi)=P(Bi)*PBi(A)
P(A)
=P(Bi)*PBi(A)                
P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)+...+P(Bn)*PBn(A)




Это формула Бейеса. 
  Рассмотрим применение формулы Бейеса при решении задач. 

  Пример 1
  Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 

  Решение. 
  Пусть событие А — «изделие при проверке было признано стандартным». Введем два предположения:
 В1— «изделие попало к первому товароведу», Р(В1)=0,55
 В2 — «изделие попало ко второму товароведу».  Р(В1)=0,45
  Условная вероятность того, что изделие признано стандартным первым товароведом, РB1(А)=0,9, а условная вероятность, что изделие признано стандартным вторым товароведом, РB2(А)=0,98.
Для нахождения вероятности того, что изделие проверил второй товаровед, воспользуемся формулой Бейеса:
    PA(B2)=P(B2)*PB2(A)
P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A) 
=0,45*0,98               
0,55*0,9+0,45*0,98
≈0,47






  Пример 2 
  В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без нее?

  Решение.
Пусть событие А — «стрелок поразил мишень». Введем два предположения:
В1 — «мишень поражена из оптической винтовки»;
В2 — «мишень поражена из винтовки без оптического прицела». Так как из 10 винтовок 4 с оптическим прицелом, то P(В1)=0,4, а Р(В2)=0,6. Условная вероятность того, что мишень будет поражена при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, РB1(А)=0,95. Условная вероятность того, что мишень
будет поражена при выстреле из винтовки без оптического прицела, РВ2(А)=0,8.
По формуле полной вероятности вероятность того, что произойдет событие А, равна:
  Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)=0,4*0,95+0,6*0,8=0,38+0,48=0,86. 
  Применив формулу Бейеса, найдем РА1) и РА2), т.е. вероятности того, что мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без оптического прицела: 
    
РА1)=
Р1)*PB1(A)
P(A)
=0,38
0,86
=19
43



    
РА2)=
Р2)*PB2(A)
P(A)
=0,48
0,86
=24
43

 

Так как 
    24
43
>19
43

, то более вероятно то, что мишень будет поражена из винтовки без оптического прицела. 

  Пример 3
  Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,4.

 

  Решение. 
  Пусть событие А — «два стрелка поразили мишень». Введем
предположения: 
  В1 — «третий стрелок поразил мишень», Р(В1)=0,4
  В2 — «третий стрелок не поразил мишень». Событие  В2 противоположно событию  В1, поэтому 
  Р(В2)=1-Р(В1)=1-0,4=0,6
  Найдем условную вероятность РB1(А) того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что попал третий стрелок. Данное событие возможно только в случае, если попал первый стрелок или попал второй стрелок, т.е. попал только один из стрелков, поэтому 
РB1(А)=p1*q2+q1*p2, где р1(р2) и q1(q2) — вероятности попадания и промаха при стрельбе по мишени первым (вторым) стрелками. 
  РВ1(А)=0,6*(1-0,5)+(1-0,6)*0,5=0,3+0,2=0,5. 
  Найдем условную вероятность  РB2(А) того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что третий стрелок не попал в мишень. Данное событие возможно только в случае, если в мишень попали и первый и второй стрелки, т.е. одновременно осуществились два независимьа события, поэтому, применяя теорему умножения, имеем: 
  РB2(А)=p1*p2=0,6*0,5=0,3
  Применив формулу Бейеса, получим 
 
    
РA(B1)=
P(B1)*PB1(A)
P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A) 
=0,4*0,5
0,4*0,5 +0,6*0,3
=0,2
0,38
=10
19
Категория: Теория вероятности | Добавил: Artman (11.05.2012)
Просмотров: 26280 | Рейтинг: 4.0/7
Всего комментариев: 0




Copyright MyCorp © 2017
www.matematicus.ru
Хостинг от uCoz