Классическое определение вероятности - Теория вероятности - Теория вероятности - ГДЗ онлайн, скачать решебник, онлайн график, Математика, онл - matematicus

Сколько Вы читаете книг в год?
Всего ответов: 2534


Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа
Главная » Статьи » Теория вероятности » Теория вероятности
Классическое определение вероятности

  Рассматривая события A1, А2,..., Аn, можно заметить, что каждое из них обладает некоторой степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Чтобы количественно сравнить между собой события, нужно с каждым из этих событий связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события. 
  Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов (m) к общему числу равневозможных несовместных элементарных исходов (n), образующих полную группу.
  Вероятность события А обозначается Р(А)
  Согласно определению вероятности,

 

Свойства вероятности

Свойство 1 
Вероятность случайного события есть неотрицательное число,такое, что


Свойство 2 
  Вероятность достоверного события равна единице:

  P(U) =1

Свойство 3 
Вероятность невозможного события равна нулю:

P(V) = 0

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1
 Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна семи;
б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем;
в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем;

Решение.

а) Пусть событие А — «сумма выпавших очков равна семи». 
   , где m — число исходов, в которых произошло событие A, a n — число всех равновозможных несовместных событий.Составим все комбинации, которые соответствуют данному событию при бросании двух игральных костей:

  Первая кость                                            Вторая кость

  одно очко                                                     шесть очков
  два очка                                                       пять очков
  три очка                                                       четыре очка
  четыре очка                                                  три очка
  пять очков                                                    два очка
  шесть очков                                                  одно очко

  Таким образом, событию А благоприятствует шесть комбинаций (m = 6). Для нахождения числа всех равновозможных несовместных событий применим основную формулу комбинаторики. Найдем общее количество комбинаций при бросании двух игральных костей: так как при бросании первой игральной кости количество очков можно получить шестью способами и при бросании второй кости также шестью способами, то общее количество комбинаций при одновременном бросании двух костей равно n= 6*6 = 36. Тогда
                    
 
                     
  б) Пусть событие В — «сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем». Составим все комбинации, при которых сумма выпавших очков равна восьми:

  Первая кость                                         Вторая кость

  два очка                                                    шесть очков
  три очка                                                    пять очков
  четыре очка                                               четыре очка
  пять очков                                                 три очка
  шесть очков                                               два очка

Из этих комбинаций только два благоприятствуют событию В. Так как всего количество комбинаций при бросании двух игральных костей равно 36 (см. пункт а) ), то  
  Р(В) = 2/36=1/18

в) Пусть событие С — «сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем». Так как по условию задачи «...известно, что их разность равна четырем», то при решении данной задачи необходимо рассматривать только комбинации, удовлетворяющие условию задачи. Таких комбинаций две (см. пункт б) ) и только одна из них может произойти в результате испытания, т.е.
  Р(С) = 1/2

Пример 2
  Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появился «герб».

Решение

  Пусть событие А — «при бросании монеты два раза хотя бы один раз появился герб».
  Составим все комбинации, которые могут получиться при бросании двух монет:

«решка» — «герб»,
«решка» — «решка»,
«герб» — «герб»,
«герб» — «решка».

  Количество   комбинаций,   благоприятствующих   появлению события А, равно трем, а всего событий четыре, т.е. Р(А) = 3/4

Пример 3
  В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение
Пусть событие А — «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке».   
 
, где m — число исходов, в которых произошло событие А(m=1), а n — число всех равновозможных несовместных событий — комбинации из 6 кубиков, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Поэтому для подсчета  n применим перестановки:

Пример 4
  В пачке 20 карт, помеченных номерами 101, 102, ..., 120 и произвольно расположенных. Из пачки наудачу извлекают две карты. 
  Найти вероятность того, что извлечены карты с номерами 101 и 120

Решение 
Пусть событие А — «извлечены две перфокарты с номерами 101 и 120».
Так как в пачке 20 карт, то общее число комбинаций по 2 карты равно:
, а число комбинаций, благоприятствующих событию А, — одно. Тогда 

Пример 5 
  В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение.
Пусть событие А — «три извлеченные детали окажутся ок-
т ращенными». 
Тогда 
 , где m— число исходов ( комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти), благоприятствующих событию А,   а n—  общее число исходов (комбинаций извлечения трех деталей из пятнадцати).

Пример 6
  Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение
  Пусть событие А — «включены два неизношенных элемента».Так как неизношенных элементов три, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию А, вычисляется как
, а количество всех комбинаций подключения двух

Пример 7
  Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение
  Пусть событие А — «абонент набрал правильно три цифры».
  Число исходов, благоприятствующих событию А, равно одному, а число всех исходов равно числу способов, которыми можно набрать три цифры. Их можно набрать 

Пример 8
  На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа львовского завода.

Решение
  Пусть событие А — «из пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа львовского завода».
  Так как среди пятнадцати кинескопов десять — львовского завода, то три кинескопа львовского завода можно выбрать
способами. 
Если произошло событие А, то из пяти кинескопов два не изготовлены на львовском заводе. Эти два кинескопа можно выбрать
  способами 
и число всех исходов, благоприятствующих событию А, вычисляется как
Выбрать пять кинескопов из пятнадцати можно
способами.
Таким образом,

Пример 9
  В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: 
а) одно окрашенное изделие; 
б) два окрашенных изделия; 
в) хотя бы одно окрашенное изделие.

Решение
а)  Пусть событие А — «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие». Из трех окрашенных изделий одно изделие можно выбрать
способами. 
Другое выбранное изделие должно быть неокрашенным, это неокрашенное изделие можно выбрать 
способами.
Число исходов (способов извлечения), благоприятствующих событию А, вычисляется как 
*
Общее число способов извлечения двух изделий из пяти вычисляется как 
 
Поэтому

б)  Пусть событие В — «оба извлеченных изделия окрашены». Число способов извлечения двух окрашенных изделий вычисляется как  
а общее количество способов извлечения  

в)  Пусть событие С — «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие». Данное событие осуществится, если извлечены одно или два окрашенных изделия. Так как извлекаются два изделия, то можно сказать, что событие С и событие «среди двух извлеченных изделий нет двух неокрашенных» есть одно и то же событие. В коробке неокрашенных изделий два, и число исходов, благоприятствующих событию «среди двух извлеченных изделий нет двух неокрашенных», равно 1. Поэтому вероятность события С можно найти следующим образом:


Пример 10 
  В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение
  Пусть событие А — «хотя бы одна деталь окрашена». Данное событие может произойти, если осуществляется любое из следующих событий: «одна деталь окрашена», «две детали окрашены», «три детали окрашены». Тогда 
, где событие  — «все три детали неокрашены».   
,  где m — число исходов, благоприятствующих появлению события    ,   
n — общее число исходов. Так как в ящике десять деталей, из которых четыре окрашены, то неокрашенных деталей шесть и
— количество способов извлечения из десяти трех деталей.

Пример 11
  Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Решение
  Пусть событие А — «студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса».

Категория: Теория вероятности | Добавил: Artman (26.04.2012)
Просмотров: 61482 | Комментарии: 11 | Рейтинг: 4.0/39
Всего комментариев: 3
amivaotoplenie Спам
комбинированное отопление коттеджа http://montazh-elisa.ru/montaj/montaj-injenernyh-sistem.html - монтаж инженерного оборудования установка котла отопления на даче http://moskva-elisa.ru - оборудование по ценам поставщиков разводка отопления 2 дома http://otoplenie-elisa.ru/ozyory.html - отопление коттеджа озёры установка инженерных систем рошаль http://santeh-elisa.ru/golitsyno.html - монтаж и замена радиаторов отопления в голицыно отопление второго этажа частного дома http://ustanovka-elisa.ru/otoplenie-zagorodnyh-domov.html - отопление загородного дома
Спам
В чём Вам именно помочь?
grac Спам
помогите




Copyright MyCorp © 2017
www.matematicus.ru
Хостинг от uCoz