Кто Вы по знаку гороскопа?
Всего ответов: 3201


Онлайн всего: 28
Гостей: 28
Пользователей: 0
Форма входа
Главная » Статьи » Теория вероятности » Случайные величины
Нормальное распределение.

  Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид
 
где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание. 

  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

  а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами аσ  вычисляется по формуле:
с использованием интеграла вероятности
    P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(β-a)
σ

(α-a)
σ




Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:
    P(|X-a|<δ)=2Ф(δ )
σ


     ,где  δ — величина отклонения.

  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем
  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973
  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

  Пример 1
  На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см.

  Решение.
    P(19.7<x<20.3)=Ф(20.3-20)
0.3
(19.7-20)=Ф(1)-Ф(-1)
   0.3



  В силу нечетности функции Ф(х):
  P(19.7<x<20.3)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1) Из таблицы функции Лапласа получаем: 

  Ф(1) =0,3413. Следовательно, Р(19,7<х<20,3)=2Ф(1) = 0,6826.

  Пример 2 
  Определить среднеквадратическое отклонение показаний прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,79 не выходят за пределы ±20 мм.

  Решение.
  Пусть случайная величина X — ошибка показаний прибора.
Из условия задачи следует, что Р(|Х|<20)=0,79. Из формулы    
    P(|X-a|<δ)=2Ф(δ )
σ


  получим    

    2Ф(δ )=0.79
σ

Ф(δ )=0.395
σ



  
   δ =1.25
σ 

    откуда, подставляя  δ=20, найдем 

   σ = 20=16 мм
1.25


Категория: Случайные величины | Добавил: Artman (19.05.2012)
Просмотров: 63536 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 3.9/15
Всего комментариев: 0




Copyright MyCorp © 2017
www.matematicus.ru
Хостинг от uCoz